sommes itérées de diviseurs des nombres
Il y a plusieurs concepts de sommes de diviseurs d’un nombre donné.
On peut calculer la somme des facteurs premiers, comme semble le faire ici Ivan Panin :
ceci correspond à cette suite de Sloane :
http://mathworld.wolfram.com/SumofPrimeFactors.html
cette fonction est parfois appelée logarithme entier de n
La somme des diviseurs propres , premiers ou pas, appelés « parties aliquotes » (les diviseurs propres de n excluent n lui même) , peut être calculée ici, et itérée en ce qui est appelée « suite aliquote » :
http://factordb.com/sequences.php?se=1&aq=813&action=last20&fr=0&to=100
http://math.fau.edu/richman/mla/aliquot.htm
le premier site est nettement plus performant que le second.
prenons l’exemple de 813 :
| 1. | s(813) | = | 275 | 3 271 |
| 2. | s(275) | = | 97 | 52 11 |
| 3. | s(97) | = | 1 | 97 |
la somme des diviseurs est :
s(813) = 1 + 3 + 271 = 275
la somme itérée se poursuit en additionnant les sommes successives jusqu’à ce que l’on aboutisse à 1 :
Σ (813) = 275 + 97 + 1 = 373
on peut automatiser le calcul par un quelconque logiciel mathématique, par exemple Mathematica , ceci se fait par la commande (toujours avec l’exemple de 813):
km = RecurrenceTable[{a[n+1]== DivisorSigma[1, a[n]] – a[n],a[1]==813},a,{n,1,4}]
qui sort :
{813,275,97,1}
puis :
Total[km] – 813
qui donne bien 373
pour connaître le domaine de variation du n (et d’abord pour savoir si ça converge) on fait une première recherche par factordb :
http://factordb.com/sequences.php?se=1&aq=813&action=all&fr=0&to=100
| Checked | 0 | 3 (show) | 813 = 3 · 271 |
| Checked, new | 1 | 3 (show) | 275 = 5^2 · 11 |
| Checked, new | 2 | 2 (show) | 97 = 97 |
Mathematica permet aussi de calculer les sommes de carrés, cubes, et puissances supérieures, des diviseurs d’un nombre, par exemple :
DivisorSigma[2, 813] = 1 ^2 + 3 ^2 + 271 ^2 + 813 ^2 = 734420
DivisorSigma[3,813] = 557270336
etc..
là encore on peut calculer des sommes itérées, mais cela peut diverger très vite et bloquer l’ordinateur, il faut donc procéder par tâtonnements et commencer avec des valeurs n d’itérations petites
La commande pour le calcul de sommes itérées de carrés des diviseurs est par exemple :
RecurrenceTable[{a[n+1]== DivisorSigma[2, a[n]] – (a[n] ^2 ) ,a[1]==813},a,{n,1,4}]
qui sort :
{813,73451,112352501,4049761122799}
à noter un résultat remarquable concernant les deux nombres 39 et 93 dont le produit est le nombre 3627 valeur de la gematria du premier verset de l’Evangile de Jean :
39 x 93 = 3627 (premier verset de l’Evangile de Jean)
37 x 73 = 2701 = vs 73 = 1 + 2 + … + 73 (premier verset de la Torah)
2701 + 3627 = 6328 = vs 112 = 1 + 2 + 3 + … + 112
voir :
http://www.biblemaths.com/pag04_lect/seven.pdf
en appliquant le programme de calcul de sommes itérées des carrés de diviseurs à 39 et 93 on trouve :
RecurrenceTable[{a[n+1]== DivisorSigma[2, a[n]] – (a[n] ^2 ) ,a[1]==39},a,{n,1,3}]
qui sort :
{39,179,1}
dont le total est 219 = 3 x 73
et pour 93 :
RecurrenceTable[{a[n+1]== DivisorSigma[2, a[n]] – (a[n] ^2 ) ,a[1]==93},a,{n,1,3}]
qui sort :
{93,971,1}
dont le total est 1065
même nombre d’itérations avant la convergence (n = 3) et 179 et 971 sont « en miroir »
Αριθμοσοφια μαθεσις 
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